POLINOMIOS: Operaciónes con Polinomios

Para hacer una adición de polinomios, hay que agrupar los monomios de el mismo grado, realizar la operación pedida "suma", de igual manera que se hace con los números reales. El resultado de sumar dos polinomios del mismo grado, es otro es otro polinomio del mismo grado, en caso de de faltar un termino del mismo grado se puede completar con el 0.

Para desarrollara una resta de Polinomios, esta se obtiene al agrupar los monomios del mismo grado y realizar la operación pedida "resta" de igual manera que se hace en los números reales.

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Multiplicación de un Monomio por un Monomio

La multiplicación de monomios se obtiene al multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes de las literales similares.
Ejemplo:
Sea
F(x) = 9x⁴y²;G(x) = 7x²y³
Se multiplican los coeficientes: (9)(7) = 63, se suman los exponentes de x: 4 + 2 = 6 y se suman los exponentes de
y: 2 + 3 = 5

quedando:

F(x)G(x) = 63x⁶y⁵

Además la multiplicación de polinomios es una operación que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto. dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.
La multiplicación de monomios se obtiene al multiplicar los coeficientes y sumar los exponentes de las literales similares.

La multiplicación de polinomios cumple la propiedad distributiva. Es decir, que dados tres polinomios cualesquiera F(x) = x ;G(x) = y ;H(x) = z, se cumplirá que x(yz) = xy+xz. Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que los factores se pueden agrupar de cualquier manera.

Asimismo, el producto de polinomios también cumplía la propiedad conmutativa. Es decir, que dados los polinomios cualesquiera F(x) = x ;G(x) = y se cumplirá que xy = yx . Esta ley acostumbra a enunciarse diciendo que el orden de los factores no altera el producto.

Ademas producto de dos factores, pueden presentarse los cuatro puntos siguientes:

a) Si dos factores tienen el mismo signo positivo, su producto también tendrá signo positivo. (+x)(+y) = +xy

b) Si el multiplicador tiene signo positivo y el multiplicando tiene signo negativo, el producto tendrá signo negativo. (+x)(-y) = (-xy)

c) Si el multiplicando tiene signo negativo y el multiplicador tiene signo positivo, el producto tendrá signo negativo. (-x)(+y) = (-xy)

d) Si dos factores tienen ambos signo negativo, su producto tendrá signo positivo. (-x)(-y) = (+xy).

En la multiplicación se pueden considerar tres casos:

a) Multiplicación de monomios.

b) Multiplicación de un polinomio por un monomio

c) Multiplicación de polinomios

Multiplicación de Monomios

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.

Ejemplos:

sea F(x)=(5x³); G(x)=(8x²), HALLAR F(x).G(x)

solución

F(x).G(x) = (5x³).(8x²)= (5).(8).x³⁺²= 40x⁵

Multiplicación de un Polinomio por un Monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman todos los productos parciales así obtenidos.

Ejemplo:

sea F(x) = (12x⁴) ; G(x) = (9x³+3x²+x)

Hallar F(x).G(x)

SOLUCIÓN

F(x).G(x) = (12x⁴).(9x³- 3x²+x) = 108x⁴⁺³- 36x⁴⁺²+12x⁴⁺¹ = 108x⁷- 36x⁶+12x⁵

Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar un polinomio por otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales así obtenidos.

EXISTE OTRA FORMA PARA MULTIPLICAR POLINOMIOS Y ES CONOCIDO COMO EL MÉTODO CHINO DAR CLICK EN EL ENLACE PARA CONOCERLO

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Aplicación de polinomio para resolución de problemas de perimetro y areas

Dividir un polinomio consiste en hallar uno de los factores de un producto.

Ademas se llama división de un polinomio F(x) de grado m, entre otro polinomio G(x) de grado n, al proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios P(x) y R(x) que cumplen las siguientes condiciones:

F(x) = G(x).P(x) + R(x)

grado de C(x) = m - n; grado de R(x) ≤ n - 1

Donde P(x) es el dividendo; G(x) es el divisor ; P(x) es el cociente y R(x) es el residuo.

Para Dividir un polinomio, trabajamos teniendo en cuenta la misma representación que la división ARITMETICA (números), es decir existe: UN POLINOMIO DIVIDENDO, UN POLINOMIO DIVISOR, UN POLINOMIO COCIENTE Y UN POLINOMIO RESIDUO.

Para dividir polinomios realizamos el siguiente el procedimiento:

* Primero: Se escriben los dos polinomios en forma ordenada y descendente (de mayor a menor), con respecto a una de las variables (una de las letras con su respectivo exponente); si faltan términos se deja el espacio respectivo.

* Segundo: Se confirma que el grado del polinomio dividendo es mayor que el grado del polinomio divisor.

* Tercero: Se ubican los polinomios de la misma forma que la división de números naturales.

* Cuarto: Se divide el primer término del polinomio dividendo entre el primer término del polinomio divisor, cuyo resultado será el primer termino del cociente.

* Quinto: Se multiplica el término que se obtiene por cada uno de los términos del polinomio divisor y se restan de los términos del polinomio del dividendo.(Al realizar la resta debemos escribir cada termino con los signos opuestos).

* Sexto: Se baja el siguiente término del dividendo y se realiza la división del primer término que aparece después de efectuada la resta y el primer termino del divisor, y ese será el segundo término del polinomio cociente.

Luego, se repite el procedimiento hasta llegar a un residuo con menor grado que el polinomio divisor.
Para escribir el signo del término en el cociente observamos el signo del primer término del polinomio dividendo y ese será su signo.

Cuando el resto de la division es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, F(x) es múltiplo del divisor, o bien que F(x) es divisible por G(x), y se cumple la relación:

F(x) = G(x).P(x)

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